Kẻ \(AH\perp BC\) tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BAC có:
\(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{AH^2}\)

Do AD và AE lần lượt là hai tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A

\(\Rightarrow AD\perp AE\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông AED có:

\(\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AH^2}\) (AH là đường cao của tam giác AED do \(AH\perp BC\) hay \(AH\perp ED\))

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{DA^2}\)

Vậy...

Bạn tk câu này mình làm rồi:

Cho ΔABC nhọn, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.CMR:a) DE=AH.SinAb) Cho AI là phân giác g... - Hoc24

nhớ đổi điểm I thành điểm D

Sửa: CMR: \(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{\sqrt{2}}{AD}\)

\(DH\perp AB\Rightarrow DH\text{//}AC\\ AD\text{ là p/g}\Rightarrow\widehat{CAD}=\widehat{BAD}=90^0\\ \Rightarrow\Delta ADH\text{ vuông cân tại }H\\ \Rightarrow DH=AH\\ DH\text{//}AC\Rightarrow\dfrac{DH}{AC}=\dfrac{BH}{AB}\Rightarrow\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB-AH}{AB}\\ \Rightarrow\dfrac{AH}{AC}=1-\dfrac{AH}{AB}\\ \Rightarrow\dfrac{AH}{AC}+\dfrac{AH}{AB}=1\\ \Rightarrow AH\left(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\right)=1\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{1}{AH}\)

Lại có \(\Delta AHD\text{ vuông cân tại }H\Rightarrow AD=\sqrt{AH^2+HD^2}=\sqrt{2AH^2}=AH\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{1}{\dfrac{AD}{\sqrt{2}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{AD}\left(đpcm\right)\)

Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E.

Dễ thấy tam giác AED vuông cân tại E nên \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}=AE=ED\).

Theo định lý Thales ta có: \(\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CE}{CA}=1-\dfrac{AE}{CA}=1-\dfrac{DE}{CA}\Rightarrow\dfrac{1}{DE}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\Rightarrow\dfrac{\sqrt{2}}{AD}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\).

Vậy ta có đpcm.